Keistimewaan Segi Empat Konveks

Kali ini saya akan membahas tentang Keistimewaan Segi Empat Konveks

Sebelumnya saya beri penjelasan apa itu segi empat konveks. Segi Empat berbentuk Konveks / Cembung Jika tiap ruas garis yang menghubungkan dua titik di bagian dalam segi empat tersebut termuat seluruhnya di dalam segi empat



Contohnya seperti ini :

Tapi dimana letak istimewanya?? disini

Segiempat Konveks akan berlaku $$PQ^{2}+RS^{2} = QR^{2}+PS^{2}$$ jika dan hanya jika  PR tegak lurus QS. 

Tidak percaya? Nih Buktinya

Bukti:

Akan dibutikan bahwa pada segiempat konveks PQRS berlaku $$PQ^{2}+RS^{2} = QR^{2}+PS^{2}$$ jika dan hanya jika PR tegak lurus QS. * Jika PR tegak lurus QS . Misalkan PR dan QS berpotongan di titik O. Misalkan pula $$\angle POQ = a$$ . Maka $$\angle ROS = a$$ serta $$\angle QOR = \angle POS = 180 - a$$ $$PQ^{2} + RS^{2} = (PO^{2} + OQ^{2}) + (OR^{2} + OS^{2}) = (PO^{2} + OS^{2}) + (OR^{2} + OQ^{2})$$
$$PQ^{2} + RS^{2} = PS^{2} + QR^{2}$$
Eiitt... Pembuktian belum cukup sampai disini, masih ada lanjutannya * Jika $$PQ^{2}+ RS^{2} = QR^{2} + PS^{2}$$ Dengan dalil cosinus didapat : $$PQ^{2} + RS^{2} = QR^{2} + PS^{2}$$ $$OP^{2} + OQ^{2} − 2 OP . OQ cos a + OR^{2} + OS^{2} − 2 OR ⋅ OS cos a = OQ^{2} + OR^{2} − 2 OQ ⋅ OR cos(180^{o}−a) + OP^{2} + OS^{2} − 2 OP ⋅ OS cos (180^{o}−a)$$
$$(2 OQ \cdot OR + 2 OP\cdot OS + 2 OP\cdot OQ + 2 OR\cdot OS) cos a = 0$$ Karena $$(2 OQ OR + 2 OP OS + 2 OP OQ + 2 OR OS) > 0$$ , maka $$a = 90^{o}$$ Terbukti bahwa pada segiempat konveks PQRS berlaku $$PQ^{2} + RS^{2} = QR^{2} + PS^{2}$$ jika dan hanya jika PR tegak lurus QS.